Problèmes classiques en théorie des équations

Ce cours d'analyse est consacré à l'exposition d'un certain nombre de thèmes
classiques en théorie des équations aux dérivées partielles et il s'adresse à
des étudiants de master, des élèves en écoles d'ingénieurs ou à tous ceux qui
désirent connaître cette partie importante des mathématiques. Ce travail part
du théorème d'Existence et d'Unicité pour les solutions d'équations
différentielles non-linéaires, aborde la résolution des équations scalaires
linéaires du 1er ordre (la méthode employée est celle des courbes
caractéristiques) et s'intéresse ensuite aux équations scalaires quasi-
linéaires. La transformation de Fourier, présentée au chapitre 6, est très
importante car elle permet de résoudre les équations à coefficients constants
de la formeP(u) = F où P est un opérateur différentiel en (t, x). Les
équations des ondes, de la chaleur et de Schrödinger sont toutes de ce type et
font l'objet d'une résolution très détaillée au moyen de formules explicites.
À la fin, on quitte le domaine des équations à coefficients constants pour
celui des équations à coefficients variables. Les méthodes employées pour
résoudre ces équations donnent lieu à des développements très importants et
font largement partie du domaine de la recherche.